现代数学的研究区分为纯粹数学和应用数学，而纯粹数学的抽象化发展，产生了实变函数论、泛函分析、拓扑学和抽象代数这四大抽象数学分支。这些数学分支间相互交叉作用，又产生了代数几何、微分拓扑等新的分支；除此之外，数学应用于其他科学，也产生了大量丰富、深刻的成就。
理论物理学的发展
18世纪是数学与经典力学相结合的*金时代；19世纪数学主要应用于电磁学，最具代表性的成果就是麦克斯韦建立的由四个偏微分方程组成的电磁学方程组；进入20世纪以后，数学在相对论、量子力学等理论物理领域大展拳脚。年德国数学家闵可夫斯基提出了空间和时间的四维时空结构，为爱因斯坦的狭义相对论提供了数学模型。这个结构也被称为“闵可夫斯基空间”(c为光速)：
闵可夫斯基空间该模型又被爱因斯坦用于研究引力场理论，只是限于爱因斯坦当时的数学水平，没能得到方程结果。在爱因斯坦学会了以黎曼几何为基础的微分后，经过三年的努力，爱因斯坦给出了引力场方程：
引力场方程其中R是里奇张量，T是能量-动量张量，R是曲率标量，g是度规张量，k是常数。爱因斯坦认为，有了引力场方程，广义相对论作为一种逻辑结构就是成立的了。
依照广义相对论，时空整体上是不均匀的，只在微小的区域内例外。而这种非均匀的时空可通过黎曼度量来描述：
黎曼度量这种描述首次揭示了非欧几何学的现实意义，也是数学史上最伟大的数学应用例子。
与相对论不同，量子力学有大批的物理学家参与其中。普朗克、爱因斯坦、波尔是开拓者；薛定谔、海森堡、狄拉克则分别以波动力学、矩阵力学、变换理论的形式建立量子力学；而希尔伯特和冯·诺依曼的努力，奠定了量子力学严格的数学基础。
爱因斯坦年，杨——米尔斯理论试图统一自然力的相互作用，揭示了规范不变性可能是电磁力、引力、强力和弱力相互作用的共性。该理论用到的数学工具为纤维丛微分几何；年被证明的阿蒂亚——辛格指标定理也在杨——米尔斯理论中获得应用，研究方法涉及分析学、拓扑学、代数几何、偏微分方程和多复变函数等数学分支。兴起于20世纪80年代的超弦理论，以引力理论、量子力学和粒子相互作用的同一数学描述为目标，成为数学与物理最活跃的领域，进入该领域需要用到包括微分拓扑、代数几何、微分几何、群论、无穷维代数、复分析和黎曼曲面上的模理论等数学分支，如此看来，它可能吸引了这个地球上最聪明的一群人。
经济学
数学渗透到经济学后，也造就了大批的诺贝尔奖获得者。开启数理经济学的人是匈牙利数学家冯·诺依曼，他在《博弈论与经济行为》中提出竞争数学模型并应用于经济问题。半个世纪后，美国数学家纳什和德国经济学家泽尔腾均因博弈论的研究而获得诺贝尔奖。纳什还因为非线性偏微分方程的研究而获得阿贝尔奖。
前苏联数学家康托洛维奇和美国经济学家库普曼斯分别凭借线性规划论和生产函数以及在资源最佳配置理论方面的贡献，获得年诺贝尔经济学奖。如果说这两位诺贝尔奖得主使用的数学理论比较简单，那么美国经济学家德布鲁和阿罗则使用了较深刻的凸集和不动点定理，他们建立起均衡价格理论后使用了微分拓扑、代数拓扑、动力系统等数学工具。阿罗和德布鲁分别于年和年获得诺贝尔经济学奖。
诺贝尔自上世纪70年代，伴随着随机分析进入经济学领域，美国经济学家费希尔·布莱克和斯科尔斯将期权的定价问题归结为一个随机微分方程的求解问题，并导出布莱克——斯科尔斯公式。使得投资者能够精确地确定期权价格，降低了期权的投资风险。之后，美国经济学家默顿去掉一些限制，将公式用于金融交易的其他领域。年默顿和斯科尔斯获得了诺贝尔经济学奖。20世纪90年代中国数学家彭实戈和法国数学家巴赫杜合创的倒向随机微分方程，成为高级金融产品的风险度量和稳健定价的数学依据。
计算机
要说到计算机领域，起到重要革新作用的人物几乎全部都是数学家。第一个提出机械计算机设计思想的是德国人席卡德，而第一台能进行加减运算的机械计算机是帕斯卡尔发明，30年后莱布尼茨制造出一台可进行乘除和开方的计算机。使计算机能对数据进行各种运算是向现代计算机过度的关键。英国数学家巴贝奇想通过通用程序控制数字计算机的天才设想，由于时代的限制，他的分析机(运算室和存储库，再加一控制运算程序的装置)的设计方案在技术实施上遇到巨大障碍，直到多年后才能实现。
20世纪后，科学技术发展迅速，产生了大量的数据，计算的需求更加的迫切。年，美国哈佛大学数学家艾肯在IBM的支持下，设计和制造了世界上首台部分使用了继电器的能实际操作的通用程序计算机，不久后制造了一台全部使用继电器的计算机。而宾夕法尼亚大学用电子管代替继电器，于年造出了第一台通用电子数字积分计算机——ENIAC。年，数学家冯·诺依曼提出把ENIAC使用的外插程序改为存储程序的想法，依此制成的计算机能按照存储器中的指令进行操作，大大加快了运算速度。
冯·诺依曼英国数学家图灵为解决数理逻辑中的基本理论问题——相容性，以及数学问题的机器可计算性的判定，而提出“理想计算机模型”：输入/输出装置、存储器和控制器。到目前为止，计算机经历了从电子管、晶体管到集成电路、超大规模集成电路的四代发展，均是采用二进制拨码开关，也都采用图灵的计算机模型。
而计算机的最初设计初衷是代替人工计算，目前计算机不仅仅是数学研究的有力工具也是数学问题的源泉。计算机的发展推动了一个新的数学分支——计算数学，该学科涵盖设计、改进各种数值算法，也讨论算法有关的误差分析、收敛性等问题。值得一提的是，20世纪60年代中国数学家冯康创建了一种数值分析方法——有限元法，被广泛地应用于航空、桥梁设计等工程计算中。
年，伊利诺伊大学的数学家阿佩尔和哈肯通过电子计算机，证明了多年的地图四色定理。自此之后，人们深受鼓舞，数学家开始更多地使用计算机研究纯粹数学，最突出的可能要数孤立子和混沌的发现了。数学与计算机的结合催生了分形几何学的诞生。
分形计算机科学的另一个重要的分支就是目前大热的人工智能了，人工智能的主要目标是希望机器能够胜任通常需要人类才能完成的工作，语音和图像识别等等。这涉及到机器学习、深度学习、计算机视觉等领域，同时需要统计学、信息论和控制论等等方面的数学基础。目前的人工智能凭借着云计算、大数据、神经网络算法的发展，在一些领域能够碾压人类，但在认知情感、决策等领域还是很低能的，能做的事情还是很有限的。
机械公敌生物学
与物理学相比，生物学是一门年轻的学科。生物学中使用数学方法作为研究工具也远晚于物理，大概始于20世纪初。英国数学家皮尔逊最先将统计学应用于遗传和进化的研究，并于年创办了最早的生物数学杂志——《生物统计》。年，意大利数学家沃尔泰拉提出“沃尔泰拉方程”，成功解释了地中海不同鱼群数量周期消长的现象，自此之后人们开始使用微分方程建立生物模型。20世纪50年代，在英国和美国有两项重大的成果：描述神经脉冲传导的霍奇金——赫胥黎方程和视觉系统侧抑制作用的哈特兰——拉特利夫方程。这两个复杂的非线性方程，引起了数学家和生物学家的兴趣。
年出生于南非的美国物理学家马克，由于对人体软组织和不同密度组织层的X射线成像问题产生兴趣，之后建立起计算机扫描的数学基础：人体不同组织对X射线吸收量的计算公式。他的公式建立在积分几何的基础之上，解决了计算机断层扫描的理论问题。马克的工作促使英国的电器工程师豪斯费尔德发明了第一台计算机X射线断层扫描仪(CT扫描仪)，并临床试验成功。因此，这两个不同行业的人一起获得了年的诺贝尔生理学或医学奖。